x(1/(2^x-1)+1/2)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 05:13:55
已知f(x)为上式，判断奇偶性，还要证明f(x)>0恒成立。

(1)偶函数
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x*[(2^x+1)/2(2^x-1)]
f(-x)=(-x)[2^x/(1-2^x)+1/2]=x*[2^x/(2^x-1)-1/2]=x*[(2^x*2-2^x+1)/(2^x-1)]=x*[(2^x+1)/2(2^x-1)]
f(x)=f(-x),所以是偶函数
(2)首先x≠0
x>0时，
2^x>2^0=1
即2^x-1>0,所以f(x)>0

当x<0时：
2^x有:0<2^x<2^0=1
即 -1<2^x-1<0
所以1/(2^x-1)<-1，左边和1/2的和小于-1/2
[1/(2^x-1)+1/2]即为负
f(x)>0
得证